Fiche pratique - Le modèle de Black & Scholes        

LE MODELE DE BLACK ET SCHOLES

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APPLICATION

Options de type européenIl s'agit, sur Euronext MONEP, des options sur indice (ex: CAC40) et sur action à long terme. Quant aux options sur action à court terme, ce modèle n'est pas adapté. Il conviendrait d'utiliser plutôt le modèle binomial (Cox-Ross et Rubinstein)

HYPOTHESES

Parmi les hypothèses retenues, on peut citer :

• Les cours du support suivent une "marche aléatoire" (random walk, en anglais). Cela signifie que les variations de cours à très court terme suivent une distribution gaussienne (normale). Cette hypothèse implique que les cours futurs suivent un modèle log-normal.

• L'hypothèse de l'absence de distribution de dividende (il existe d'autres versions de Black et Scholes modifiées prenant en compte des dividendes proportionnels ou discrets, cf. VARIANTES)

• La volatilité est supposée constante pour toutes les séries d'une même classe, contrairement à ce qui se pratique sur le marché où il existe un smile de volatilité (le fait que la volatilité est différente par prix d'exerice et qu'elle est plus faible pour des options à la monnaie)

• Le modèle est valable pour des options de type européen, où l'exercice n'est possible qu'à l'échéance des contrats.

• Il n'existe pas de coûts de transaction et d'imposition.

• Le taux d'intérêt à court terme est constant.

FORMULES

La valeur théorique des options d'achat (CALL) et de vente (PUT) est donnée par les formules suivantes:

• c(S,K,r,T,v) = S N(d₁) - K exp(-rT) N(d₂), prix d'un call

• p(S,K,r,T,v) = -S N(-d₁) + Kexp(-rT) N(-d₂), prix d'un put

où

• S : cours du support

• K : prix d'exercice

• r : taux d'intérêt (exprimé en %)

• T : temps restant à maturité (exprimé en fraction d'année)

• v : volatilité annualisée (exprimé en %)

et

N : est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N(0,1). Cette fonction est la fonction LOI.NORMALE.STANDARD(), disponible sur EXCEL.

Exemple numérique

Prenons les valeurs suivantes :

• S = 102

• K = 100

• r  = 0,05

• T = 3 mois = 1/4 année = 0,25

• v = 0,20

puis

• Call = 5,83

• Put = 2,59

VARIANTES

Dividende continu

Le dividende noté q est supposé réparti uniformément sur toute l'année. Il est défini par le rapport du montant de dividende sur le cours : q=D/S. Ce rapport est appelé également taux de rendement. Dans ce cas, les formules sont légèrement modifiées et il suffit de remplacer S par S.exp(-qT) dans les formules c, p et d₁.

Dividende discret

Le montant du dividende noté D est détaché à la date t_D. Soit t_d le temps séparant cette date à la maturité (exprimé toujours en fraction d'année). Dans ce cas, les formules sont légèrement modifiées et il suffit de remplacer S par S - D.exp(-rt_d) dans les formules c, p et d₁. Cette approche est généralisable pour le cas où la société distribue plusieurs dividendes par an ou le cas des options très long terme de maturité supérieure à un an.